Небольшое перемещение, которое позволяют связи данной системы, называется возможным перемещением.
Вызывать данное перемещение могут какие-либо силы, изменение температуры, осадка опор и др.
Работа силы на возможном перемещении называется возможной работой.
Возможное перемещение обозначим Δij, а возможную работу Аij (здесь i означает направление, а j – причину).
Пример: если какой-либо точке балки вначале действует сила Pi, а через некоторый промежуток времени в другой точке на балку начнет действовать другая сила Pj, то балка в точке действия силы Pi получит возможное перемещение Δij (рис. 1, а). Поскольку в это время величина силы Pi остается постоянной, совершаемая ею возможная работа определяется площадью прямоугольника (рис. 1, б):
Аij=PiΔij
Рисунок 1. Возможное перемещение
Таким образом, возможная работа равна произведению силы на возможное перемещение.
При определении возможной работы необходимо рассматривать два состояния системы: в первом из них действуют заданные, а во втором – возможные силы.
Теорема Бетти (теорема о взаимности работ): возможная работа сил i-го состояния на перемещениях j-го состояния равна возможной работе сил j-го состояния на перемещениях i-го состояния.
PiΔij=PjΔji
Пусть на систему воздействуют силы P1 и P2. Приложим их в разной последовательности и рассмотрим два состояния системы:
1) прикладывается сила P1, затем сила P2 (рис. 2, а);
2) прикладывается сила P2, затем сила P1 (рис. 2, б).
Рисунок 2. Возможное перемещение
P1Δ12=P2Δ21
Теперь определим возможную работу внутренних сил. Для этого рассмотрим два состояния системы:
1) действует сила Pi, которая вызывает внутренние усилия Mi, Qi, Ni;
2) действует сила Pj, которая в пределах малого элемента dx вызывает возможные перемещения.
Внутренние усилия первого состояния на возможных перемещениях второго состояния совершат возможную работу:
Если взять определенный интеграл для указанного выше выражения по длине элемента l и учесть наличие в системе n стержней, получим формулу возможной работы внутренних сил: