Строительная механика

Определить внутренние усилия (M, Q, N) в статически неопределимых системах в строймехе можно методом перемещений.

Для этого метода в систему вводятся дополнительные связи, а за неизвестные принимаются перемещения во введенных связях.

Так как за неизвестные принимаются перемещения (угловые и поступательное), то общее число неизвестных называется степенью кинематической неопределимости и рассчитывается по формуле:

 

n=n_угл+n_лин

 

где n_угл – количество углов поворота жестких узлов (равно числу жестких узлов в системе) (рис. 1, г, д);

      n_лин – количество возможных линейных перемещений.

Например, в раме (рис. 1, а) n_угл =2.

 

Рисунок 1. Степень кинематической неопределимости

 

При определении n_лин во все жесткие узлы и опоры заданной системы устанавливают шарниры и определяют число линейных перемещений на базе известной формулы кинематического анализа:

 

n_лин =3Д–2Ш-С₀

 

В рассматриваемом примере (рис. 1, а): n_лин=2× 6 – 5 – 6 =1. Т.е. число независимых линейных перемещений равно числу стержней, которые надо ввести в шарнирную схему сооружения, чтобы превратить ее в геометрически неизменяемую.

Неизвестные перемещения обозначаются: Z₁, Z₂, ..., Zn.

После расчета количества неизвестных в заданную систему (ЗС) вводят столько же связей для предотвращения перемещений концов ее стержней. При этом система делится на однопролетные статически неопределимые балки. Полученная система является основной системой (ОС) метода перемещений. А сама ОС называется кинематически определимой.

В рассматриваемом примере в раму введем две заделки в жесткие узлы и одну шарнирно-подвижную опору. Полученная схема (рис. 1, в) будет ОС метода перемещений.

Для образования ОС метода перемещений требуется:

– в жесткие узлы заданной системы ввести n_угл заделок;

– в направлении поступательных перемещений узлов заданной системы ввести n_лин шарнирно-подвижных опор.

Введенная заделка в отличии от обычной заделки исключает лишь угловое перемещение узла, оставляя возможность линейного смещения.

Полученная ОС метода перемещений будет единственной.

Рама, приведенная на рис. 2, а, четырежды статически неопределима. При ее расчете методом сил нужно исключать четыре лишние связи и выбирать основную систему, например, такую как на рис. 2, б.

 

 

Рисунок 2. Канонические уравнения метода перемещений

 

В методе перемещений в раму необходимо ввести n=n_угл+n_лин=1+0=1 кинематическую связь (жесткую заделку – рис. 2, б). Если неизвестное угловое перемещение узла обозначить через Z, получим ОС показанную на рис. 2 в.

 

n_лин=3·3–2·2–5=0

 

Чтобы усилия и деформации ОС были аналогичными ЗС, перемещение Z должно быть равно углу поворота узла рамы (рис. 2, а), а реактивный момент во введенной заделке основной системы (рис. 2, в) должен равняться нулю: R =0.

Указанную реакцию определяют рассматривая единичное и грузовое состояния основной системы.

В единичном состоянии введенной связи зададим единичное перемещение (угол поворота, равный единице) и определим возникающую в ней реакцию r (рис. 2, г). В грузовом состоянии будем учитывать только заданную внешнюю нагрузку и во введенной связи основной системы определим реакцию R_P (рис. 2, д).

С учетом упругости системы и принципа суперпозиции получаем следующее уравнение:

 

r · Z+ R_P =0         

 

где r – реактивный момент в заделке от поворота этой заделки на угол, равный 1 (или от линейного перемещения на 1).

Полученное уравнение называется каноническим уравнением метода перемещений.

Если известны величины реакций r и R_P, то можно определить величину узлового перемещения:

 

Z= – R_P /r.

 

Для стержневой системы, степень кинематической неопределимости которой равна n, ОС образуется введением n дополнительных связей с неизвестными Z₁, Z₂, …, Z_n. Соответственно, необходимо составить n уравнений. Далее исследуются n единичных состояний и одно грузовое состояние. 

 

 

где r_ii – главные коэффициенты;

      rij – боковые коэффициенты;

      Rip – грузовые коэффициенты.

Полученная система уравнений называется системой канонических уравнений метода перемещений.

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений можно определять статическим или кинематическим способами.

Статический способ основан на определении реакций во введенных связях основной системы из уравнений равновесия. Для этого необходимо вырезать отдельные узлы или части основной системы и составить уравнения равновесия (статики). Если искомая реакция является  моментом, то она определяется из условия равенства нулю момента в узле, если же она является  силой, то определяется из уравнения проекции на ось (например, на ось x) в направлении этой реакции. Статический способ достаточно прост для использования, поэтому является основным способом определения коэффициентов системы канонических уравнений.

Кинематический способ основан на определении коэффициентов канонических уравнений путем перемножения эпюр. Этот способ используется в случае когда  статическим способом рассчитать сложно или для проверки результатов статического способа.

После определения всех коэффициентов они подставляются в систему канонических уравнений. После ее решения определяются неизвестные Z₁, Z₂, …, Z_n. Далее аналогично методу сил определяются внутренние усилия.

Вначале рассчитываются изгибающие моменты:

 

 

Далее по эпюре изгибающих моментов (M) определяются поперечные силы (Q), а по ним методом вырезания узлов – продольные силы (N).

Проверка правильности построения эпюр М, Q, N выполняется аналогично методу сил:

– статическая проверка состоит в составлении уравнений равновесия для реакций в опорах статически неопределимой системы, которые могут быть определены из построенных эпюр внутренних усилий, т.е.:

 

 

– деформационная проверка – в результате умножения окончательной эпюры изгибающих моментов М, полученной методом перемещений, на любую из единичных эпюр, построенных для основной системы метода сил. В результате должен получаться нуль.

 

Пример задачи с решением.