Присоединяйтесь

 

Перейти к примеру задачи.

В сопротивление материалов расчет на устойчивость имеет важное значение, поскольку потеря устойчивости происходит при напряжениях меньших, чем при потери прочности.

Условие устойчивости для сжатого стержня:

 где Р ‒ сжимающая осевая нагрузка, Н;

      S ‒ площадь поперечного сечения, м2;

      [σ] ‒ допускаемое напряжение на сжатие, Па;

      φ ‒ коэффициент продольного изгиба.

Значения коэффициента продольного изгиба, зависящие от материала и гибкости стержня λ, приведены в таблице 1.

Таблица 1 ‒ Значения коэффициента продольного изгиба

 

Таблица 1 ‒ Значения коэффициента продольного изгиба

 

Гибкость стержня λ определяется по формуле:

 где μ ‒ коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня (рисунок 1);

      l ‒ длина стержня, м;

     imin ‒ минимальный радиус инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции сечения, м.

 

Рисунок 1 ‒ Значения коэффициента приведения длины

 

Рисунок 1 ‒ Значения коэффициента приведения длины

 

Минимальный радиус инерции поперечного сечения определяется по формуле:

 где Imin ‒ минимальный осевой момент инерции, м4;

       S ‒ площадь сечения, м2.

Для простого симметричного сечения главными центральными осями инерции являются оси симметрии, на пересечении которых располагается центр тяжести сечения.

Сложное сечение необходимо разбить на простые фигуры ‒ при этом площадь и осевой момент инерции всего сечения определяется алгебраическим суммированием площадей и осевых моментов инерции простых фигур.

В сопромате если собственные центральные оси инерции отдельной простой фигуры не совпадают с главными центральными осями инерции полного сечения и параллельны им, то применяется правило для параллельного переноса:

где Ix, Iy ‒ осевые моменты инерции простых фигур относительно главных центральных осей инерции полного сечения, м4;

      Ix1, Iy1 ‒ осевые моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей инерции, м4;

   a, b ‒ межосевые расстояния между горизонтальными и вертикальными центральными (главными и собственными) осями инерции соответственно, м.

Геометрические характеристики простых плоских сечений приведены в таблице 2.

Таблица 2 ‒ Геометрические характеристики плоских сечений

 

Таблица 2 ‒ Геометрические характеристики плоских сечений

 

Допускаемое значение сжимающей силы определяется из условия устойчивости:

 Критическая сжимающая сила для стержня определяется в зависимости от гибкости стержня и предельной гибкости материала стержня λпред (для стали λпред = 100).

В случае λ > λпред, критическая сила определяется по формуле Эйлера:

 В случае λ < λпред, критическая сила определяется по формуле Ясинского:

      где a, b ‒ коэффициенты, зависящие от свойств материала стерня (для стали: a=310 МПа; b=1,14 МПа).

 

Коэффициент запаса устойчивости для сжимаемого стержня определяется по формуле:

 Ниже приведен пример решения задачи по данной теме.

 

Задача

 

Исходные данные: [σ]=150 МПа; Е=2,1·105 МПа.

Необходимо определить допускаемое значение сжимающей силы, критическую силу и коэффициент запаса устойчивости для стержня на рисунке 2. Все размеры на рисунке 2 даны в сантиметрах.

Рисунок 2 ‒ Схема закрепления стержня и его поперечное сечение

 

Рисунок 2 ‒ Схема закрепления стержня и его поперечное сечение

 

Определяем геометрические характеристики поперечного сечения.

Разбиваем сечение на простые фигуры: прямоугольник и четыре круга.

Главными центральными осями инерции заданного сечения являются X и Y. Для прямоугольника ‒ собственные центральные оси инерции совпадают с X и Y. Для круга ‒ собственные центральные оси инерции U и V, следовательно необходимо воспользоваться правилом параллельного переноса.

Определяем площади простых фигур (таблица 1):

 

 Соответственно, площадь заданного сечения:

 

 Определяем осевые моменты инерции простых фигур (таблица 1):

 

 Соответственно, осевые моменты инерции заданного сечения:

 

 

 

Определяем минимальный радиус инерции:

 

 Определяем гибкость стерня с учетом того, что коэффициент приведения длины μ = 0,7 (рисунок 1).

 

 По таблице 1 определяем коэффициент продольного изгиба: φ = 0,417.

Определяем допускаемое значение сжимающей силы:

 

     Определяем величину критической силы, используя формулу Эйлера, поскольку гибкость стержня больше предельной гибкости для стали (126,55>100):

 

 

  

 Определяем коэффициент запаса устойчивости для стержня:

 

 

 Оставить свои комментарии и задать вопросы по задаче Вы можете в нашей группе «Вконтакте».