Расчет на устойчивость деформируемых систем проводится в основном методом перемещений с помощью ЭВМ. В основе метода перемещений при расчете стержневых систем на устойчивость лежит дифференциальное уравнение изгиба сжатого прямолинейного стержня постоянного сечения.
Предварительно необходимо выполнить статический расчет сооружения, целью которого является определение перемещений узлов сооружения и внутренних сил в его элементах.
Внешние нагрузки исходного состояния, вызвавшие продольные силы, в дальнейшем расчете не участвуют.
Основная система и основные неизвестные метода перемещений выбираются в обычном порядке. Т.к., дополнительные узловые нагрузки при исследовании устойчивости полагаются нулевыми, то канонические уравнения метода перемещений принимают вид:
R(N)∙Z=0
где R – матрица мгновенной жесткости, элементы которой, реакции rik во введенных дополнительных связях, зависят от продольных сил в стержнях системы.
Расчет элементов матрицы мгновенной жесткости осуществляется как и в методе перемещений. Основная особенность метода перемещений в расчетах на устойчивость состоит в том, что в сжатых стержнях эпюры изгибающих моментов от единичных перемещений получаются криволинейными за счет дополнительного изгибающего действия продольных сил. А выражения для вычисления реакций в опорах сжатых стержней содержат поправочные множители в виде специальных функций от безразмерных параметров ν.
В несжатых стержнях построение единичных эпюр изгибающих моментов и вычисление реакций выполняется в обычном порядке.
Следовательно, коэффициенты канонических уравнений метода перемещений зависят от безразмерных параметров ν:
R(ν)∙Z=0
Т.е.:
Критическим состояниям равновесия отвечают ненулевые перемещения узлов деформируемой системы:
Z≠0
Это возможно, если определитель матрицы мгновенной жесткости равен нулю, что и соответствует моменту потери устойчивости:
Т.е.:
Раскрытие определителя приводит к уравнению, называемому уравнением устойчивости.
Дальнейшее решение задачи состоит в определении значений нагрузок на раму, удовлетворяющих уравнению устойчивости. Наименьшая из них является критической нагрузкой.
Критическое значение сжимающей силы определяется по формуле:
Критерием глобальной устойчивости сооружения является положительная определенность матрицы мгновенной жесткости деформированной системы:
R(ν)>0.
Таблица эпюр изгибающих моментов и реакций для прямых сжатых балок с разными условиями закрепления и значения специальных функций в зависимости от безразмерных параметров ν:
Таблица безразмерных параметров ν.
