Главное меню
Присоединяйтесь
В сопротивление материалов расчет на устойчивость имеет важное значение, поскольку потеря устойчивости происходит при напряжениях меньших, чем при потери прочности.
Условие устойчивости для сжатого стержня:
где Р ‒ сжимающая осевая нагрузка, Н;
S ‒ площадь поперечного сечения, м2;
[σ] ‒ допускаемое напряжение на сжатие, Па;
φ ‒ коэффициент продольного изгиба.
Значения коэффициента продольного изгиба, зависящие от материала и гибкости стержня λ, приведены в таблице 1.
Таблица 1 ‒ Значения коэффициента продольного изгиба
Гибкость стержня λ определяется по формуле:
где μ ‒ коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления стержня (рисунок 1);
l ‒ длина стержня, м;
imin ‒ минимальный радиус инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей инерции сечения, м.
Рисунок 1 ‒ Значения коэффициента приведения длины
Минимальный радиус инерции поперечного сечения определяется по формуле:
где Imin ‒ минимальный осевой момент инерции, м4;
S ‒ площадь сечения, м2.
Для простого симметричного сечения главными центральными осями инерции являются оси симметрии, на пересечении которых располагается центр тяжести сечения.
Сложное сечение необходимо разбить на простые фигуры ‒ при этом площадь и осевой момент инерции всего сечения определяется алгебраическим суммированием площадей и осевых моментов инерции простых фигур.
В сопромате если собственные центральные оси инерции отдельной простой фигуры не совпадают с главными центральными осями инерции полного сечения и параллельны им, то применяется правило для параллельного переноса:
где Ix, Iy ‒ осевые моменты инерции простых фигур относительно главных центральных осей инерции полного сечения, м4;
Ix1, Iy1 ‒ осевые моменты инерции простых фигур относительно собственных центральных осей инерции, м4;
a, b ‒ межосевые расстояния между горизонтальными и вертикальными центральными (главными и собственными) осями инерции соответственно, м.
Геометрические характеристики простых плоских сечений приведены в таблице 2.
Таблица 2 ‒ Геометрические характеристики плоских сечений
Допускаемое значение сжимающей силы определяется из условия устойчивости:
Критическая сжимающая сила для стержня определяется в зависимости от гибкости стержня и предельной гибкости материала стержня λпред (для стали λпред = 100).
В случае λ > λпред, критическая сила определяется по формуле Эйлера:
В случае λ < λпред, критическая сила определяется по формуле Ясинского:
где a, b ‒ коэффициенты, зависящие от свойств материала стерня (для стали: a=310 МПа; b=1,14 МПа).
Коэффициент запаса устойчивости для сжимаемого стержня определяется по формуле:
Ниже приведен пример решения задачи по данной теме.
Задача
Исходные данные: [σ]=150 МПа; Е=2,1·105 МПа.
Необходимо определить допускаемое значение сжимающей силы, критическую силу и коэффициент запаса устойчивости для стержня на рисунке 2. Все размеры на рисунке 2 даны в сантиметрах.
Рисунок 2 ‒ Схема закрепления стержня и его поперечное сечение
Определяем геометрические характеристики поперечного сечения.
Разбиваем сечение на простые фигуры: прямоугольник и четыре круга.
Главными центральными осями инерции заданного сечения являются X и Y. Для прямоугольника ‒ собственные центральные оси инерции совпадают с X и Y. Для круга ‒ собственные центральные оси инерции U и V, следовательно необходимо воспользоваться правилом параллельного переноса.
Определяем площади простых фигур (таблица 1):
Соответственно, площадь заданного сечения:
Определяем осевые моменты инерции простых фигур (таблица 1):
Соответственно, осевые моменты инерции заданного сечения:
Определяем минимальный радиус инерции:
Определяем гибкость стерня с учетом того, что коэффициент приведения длины μ = 0,7 (рисунок 1).
По таблице 1 определяем коэффициент продольного изгиба: φ = 0,417.
Определяем допускаемое значение сжимающей силы:
Определяем величину критической силы, используя формулу Эйлера, поскольку гибкость стержня больше предельной гибкости для стали (126,55>100):
Определяем коэффициент запаса устойчивости для стержня:
Оставить свои комментарии и задать вопросы по задаче Вы можете в нашей группе «Вконтакте».